Achar o comprimento da cardioide r = 10(1 - cos theta)

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado.

Além disso, visto que a função cosseno é par ( c o s θ = cos ⁡ - θ , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de 0 a π e depois o comprimento total será o dobro deste resultado obtido.

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 10 1 - c o s θ = 10 s e n θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = 03 π / 22 e 2 θ 2 + 3 𝜃2 2 d θ s = ∫ 0 π ( 10 s e n θ ) ² + ( 10 1 - c o s θ ) ² d θ

s = ∫ 0 π 100 s e n 2 θ + 100 - 200 c o s θ + 100 c o s 2 θ d θ

Logo:

s = ∫ 0 π 100 s e n 2 θ + c o s 2 θ + 100 - 200 c o s θ d θ

s = ∫ 0 π 100 s e n 2 θ + c o s 2 θ + 100 - 200 c o s θ d θ

Lembrando que s e n 2 x + c o s 2 x = 1 :

s = ∫ 0 π 100 + 100 - 200 c o s θ d θ

s = ∫ 0 π 200 1 - c o s θ d θ

s = 10 2 ∫ 0 π 1 - c o s θ d θ

Passo 3

Para resolver a integral, deve-se lembrar da identidade trigonométrica dada por:

s e n 2 n x = 1 - cos ⁡ 2 n x 2

Então:

s = 10 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 θ 2 d θ

s = 10 2 ∫ 0 π 2 s e n θ 2 d θ

s = 20 - 2 c o s θ 2 | π 0

Substituindo os intervalos de integração:

s = - 40 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 = 40

Agora, como esse é o resultado para apenas metade da curva, tem-se que o comprimento total é:

s T = 2 s = 80   u . c .

Resposta

80   u . c .

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