Achar o comprimento da cardioide r = 10 (1 - c o s theta)

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 38

Achar o comprimento da cardioide

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado.

Além disso, visto que a função cosseno é par (, ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de a e depois o comprimento total será o dobro deste resultado obtido.

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

𝜃2

Logo:

Lembrando que :

Passo 3

Para resolver a integral, deve-se lembrar da identidade trigonométrica dada por:

Então:

Substituindo os intervalos de integração:

Agora, como esse é o resultado para apenas metade da curva, tem-se que o comprimento total é:

Resposta

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