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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 38

Achar o comprimento da cardioide r = 10 (1 - c o s theta)

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = int_(theta_0)^(theta_1) sqrt(f^' (theta)^2 + f (theta)^2) d theta

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado.

Além disso, visto que a função cosseno é par ( c o s theta = cos (- theta) , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de 0 a pi e depois o comprimento total será o dobro deste resultado obtido.

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

(d)/(d theta) r = (d)/(d theta) (10 (1 - c o s theta)) = 10 s e n theta

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = 03 pi // 22 e 2 theta 2 + 3 𝜃2 2 d theta s = int_0^(pi) sqrt(( 10 s e n theta ) ² + ( 10 (1 - c o s theta) ) ²) d theta

s = int_0^(pi) sqrt(100 s e n^2 theta + 100 - 200 c o s theta + 100 c o s^2 theta) d theta

Logo:

s = int_0^(pi) sqrt(100 (s e n^2 theta + c o s^2 theta) + 100 - 200 c o s theta) d theta

s = int_0^(pi) sqrt(100 (s e n^2 theta + c o s^2 theta) + 100 - 200 c o s theta) d theta

Lembrando que s e n^2 x + c o s^2 x = 1 :

s = int_0^(pi) sqrt(100 + 100 - 200 c o s theta) d theta

s = int_0^(pi) sqrt(200 (1 - c o s theta)) d theta

s = 10 sqrt(2) int_0^(pi) sqrt((1 - c o s theta)) d theta

Passo 3

Para resolver a integral, deve-se lembrar da identidade trigonométrica dada por:

s e n^2 (n x) = (1 - cos (2 n x))/(2)

Então:

s = 10 sqrt(2) int_0^(pi) sqrt(2 s e n^2 ((theta)/(2))) d theta

s = 10 sqrt(2) int_0^(pi) sqrt(2) s e n ((theta)/(2)) d theta

s = 20 (- 2 c o s ((theta)/(2))) | [[pi],[0]]

Substituindo os intervalos de integração:

s = - 40 [cos ((pi)/(2)) - cos (0)] = 40

Agora, como esse é o resultado para apenas metade da curva, tem-se que o comprimento total é:

s_T = 2 s = 80 u . c .

Resposta

80 u . c .

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