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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.3 - Ex. 62

Substitua as equações cartesianas nos Exercícios 53-66 por equações polares equivalentes.

x 2 + x y + y 2 = 1

Passo 1

Olá galerinha, vamos relembrar rapidinho a relação entre as coordenadas polares e cartesianas.

Quando utilizamos coordenadas polares e cartesianas em um plano, posicionamos as duas origens juntas e tomamos o raio polar inicial como o eixo x positivo. O raio θ = π / 2 , r > 0 , torna-se o eixo y   positivo. Os dois sistemas de coordenadas estão relacionados.

As seguintes equações determinam unicamente as coordenadas cartesianas x e y , dadas as coordenadas polares r e θ :

Porém, se x e y são dadas, usamos as equações:

Passo 2

Sendo assim, do enunciado, temos a seguinte equação cartesiana:

x 2 + x y + y 2 = 1

x 2 + y 2 + x y = 1

Transformando em coordenada polar, temos:

r 2 + r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ = 1

r 2 + r 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 1

r 2 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 1

Resposta

r 2 1 + cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 1 .

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