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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 37

Nos exercícios 33 a 3 7 , encontrar o comprimento de arco da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado.

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ e 2 θ = 2 e 2 θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = 0 3 π / 2 2 e 2 θ 2 + 𝜃2 2 d θ s = ∫ 0 3 π / 2 ( 2 e 2 θ ) ² + ( e 2 θ ) ² d θ

s = ∫ 0 3 π / 2 5 e 2 θ 2 d θ

Logo:

s = ∫ 0 3 π / 2 5 e 2 θ d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral por substituição simples onde u = 2 θ e d u = 2 d θ :

s = 5 ∫ 0 3 π / 2 e u d u 2

s = 5 2 e u | 3 π / 2 0

Voltando para a variável original:

s = 5 2 e 2 θ | 3 π / 2 0

Substituindo os intervalos de integração:

s = 5 2 e 2 3 π 2 - e 0

s = 5 2 e 3 π - 1

Resposta

5 2 e 3 π - 1   u . c .

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