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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 39

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ d x x x 2 - 1

Passo 1

Vamos começar mudando a variável.

x = sec ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ d x x x 2 - 1 = ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 = ∫ tan ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1

Lembrando das relações trigonométricas:

tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Assim,

∫ tan ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1 = ∫ tan ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ = ∫ tan ⁡ θ d θ tan ⁡ θ = ∫ d θ = θ + C

Revertendo para a variável original:

θ + C = arcsec ⁡ x + C

Resposta

arcsec ⁡ x + C

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