Avalie a integral:int (x^2)/(sqrt(4 x - x^2)) d x

O valor da integral é 6 arcsen ((x)/(2) - 1) - sen (2 arcsen ((x)/(2) - 1)) - 8 sqrt(x - (x^2)/(4)) + C .

Enunciado

Vamos começar reescrevendo o termo no denominador. Podemos fazer isso usando a técnica de completar quadrados:

Então ficamos com:

E então vamos fazer uma substituição:

Colocando isso na integral:

Beleza, agora deixamos a integral em um formato bem mais conveniente: podemos aplicar uma substituição trigonométrica.

Quanto temos uma função desse tipo no denominador:

A melhor substituição a fazer é:

No nosso caso:

Então:

Agora vamos “abrir” esse parênteses na integral:

Os dois últimos termos tem integrais imediatas, mas temos que lembrar de algumas coisas para o primeiro:

Vamos usar uma identidade trigonométrica:

Então a nossa integral é:

E agora só falta “desfazer” as nossas substituições:

Então:

E para substituir o , é melhor usar outro método:

Agora é só adicionar uma constante:

O valor da integral é .