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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 43

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ x d x 1 + x 4

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável.

x 2 = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

2 x d x = sec 2 ⁡ θ d θ

x d x = sec 2 ⁡ θ d θ 2

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ x d x 1 + x 4 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 2 1 + tan 2 ⁡ θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ

Assim,

1 2 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec ⁡ θ = 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Vamos agora multiplicar em cima e embaixo por sec ⁡ θ + tan ⁡ θ :

1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ ∙ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ

Agora, precisamos fazer mais uma mudança de variável:

w = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d w = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Colocando na integral:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ d w w

Calculando a integral:

1 2 ∫ d w w = 1 2 ln ⁡ w + C

Revertendo para a variável original:

1 2 ln ⁡ w + C = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C = 1 2 ln ⁡ 1 + x 4 + x 2 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ 1 + x 4 + x 2 + C

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Avalie a integral: ∫ 1 x 3 x 2 - 1d x
Avalie a integral: ∫ 1 + sen ⁡ x 1 + cos ⁡ xd x
Avalie a integral: ∫ 1 + tan ⁡ x 2 sec ⁡ ( x ) d x
Calcule a integral. 5 .∫ x 2 - 1 x 4 d x