Um tanque reservatório de água tem o formato de um cilndro com diâmetro de . Ele está montado de forma que as secções transversais circulares são verticais. Se a profundidade da água é pés, qual é a porcentagem da capacidade total está sendo usada?

Para calcular a área desse círculo, precisamos de uma função para ele. Nesse caso, é melhor pegar a seguinte função:

Que dá a metade direita do círculo:

Podemos integrar essa função quando varia de até para encontrar a área ocupada por água. E depois é só multiplicar por dois para levar o outro lado em consideração!

Então vamos fazer a integral:

Como precisaremos fazer substiuições de variável, vamos deixar sem os limites de integração por enquanto.

Vamos aplicar uma substituição:

E lembrando que :

E agora só precisamos resolver essa integral de . Temos que usar uma substituição:

Então:

Substituindo de volta na integral de cima:

Agora precisamos “desfazer” as nossas substituições:

Então:

E para substituir o , precisamos usar uma identidade trigonométrica:

E lembrar que :

Então:

Agora sim, podemos substituir os limites de integração. Tínhamos variando de até :

Essa é a área que está prenchida pela água. A água total do círculo é:

Então a porcentagem de área ocupada é: