Calcule a integral.

∫ 0 3 x 36 - x 2 d x

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ 0 3 x 36 - x 2 d x

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Para resolvermos esse integral a ideia vai ser fazer uma substituição de variável. Como esse denominador está feio, vamos fazer assim:

u = 36 - x 2

Derivando,

d u = - 2 x d x

Logo,

x d x = - 1 2 d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração.

x = 0 → u = 36

x = 3 → u = 27

Bora começar! 😉

Passo 2

Nossa integral era o seguinte:

I = ∫ 0 3 x 36 - x 2 d x

E vai ficar assim ó:

I = ∫ 36 27 1 u - 1 2 d u

Tirando a constante da integral e reescrevendo o x :

I = - 1 2 ∫ 36 27 u - 1 / 2 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos integrar!

I = - 1 2 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 36 27

Simplificando:

I = - x 36 27

Aplicando entre os pontos dados:

I = - 27 - 36

Portanto,

I = 6 - 3 3

Legal, né? O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

6 - 3 3

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