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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 6

Calcule a integral.

int_0^3 (x)/(sqrt(36 - x^2)) d x

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Nesse problema queremos calcular a integral int_0^3 (x)/(sqrt(36 - x^2)) d x

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Para resolvermos esse integral a ideia vai ser fazer uma substituição de variável. Como esse denominador está feio, vamos fazer assim:

u = 36 - x^2

Derivando,

d u = - 2 x d x

Logo,

x d x = - (1)/(2) d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração.

x = 0 -> u = 36

x = 3 -> u = 27

Bora começar! 😉

Passo 2

Nossa integral era o seguinte:

I = int_0^3 (x)/(sqrt(36 - x^2)) d x

E vai ficar assim ó:

I = int_(36)^(27) (1)/(sqrt(u)) (- (1)/(2) d u)

Tirando a constante da integral e reescrevendo o sqrt(x) :

I = - (1)/(2) int_(36)^(27) u^(- 1 // 2) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos integrar!

I = - (1)/(2) [(u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)]_(36)^(27)

Simplificando:

I = - [sqrt(x)]_(36)^(27)

Aplicando entre os pontos dados:

I = - [sqrt(27) - sqrt(36)]

Portanto,

I = 6 - 3 sqrt(3)

Legal, né? O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

6 - 3 sqrt(3)

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