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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 40

Nos exercícios de 39 a 42, uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem, em t s. (a) Qual será a velocidade da partícula em t s? (b) Ache a velocidade instantânea da partícula em t s para cada valor dado de t1.

40. s = 3 t 2 t + 1 4 , t ≥ 0 ;   t 1 é   1 2 ,   1

Passo 1

A questão nos dá a função de como a partícula se move sobre uma reta à medida que o tempo passa:

s ( t ) = 3 t 2 t + 1 4

E a letra (a) para a gente calcular a velocidade da partícula. Podemos interpretar a velocidade como uma taxa de deslocamento da partícula, então precisaremos fazer a derivada de s para obtermos essa taxa.

Passo 2

Para fazer a derivada vamos aplicar a Regra da Cadeia, primeiro resolvemos a derivada da função de fora:

d d x x 4 = 4 x 3

E substituímos x pela função de dentro, depois multiplicamos pela derivada da função de dentro:

s ' t = 4 3 t 2 t + 1 3 d d t 3 t 2 t + 1

Passo 3

A derivada do último resultado pode ser resolvida se a gente aplicar a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Que fica:

d d t 3 t 2 t + 1 = 3 2 t + 1 - 6 t ( 2 t + 1 ) 2

Substituindo no produto do Passo 1:

s ' t = 4 3 t 2 t + 1 3 3 2 t + 1 - 6 t ( 2 t + 1 ) 2

Simplificando:

v = s ' t = 324 t ( 2 t + 1 ) 5

Passo 4

Com o resultado da letra (a), devemos substituir os valores dados de t1 para obtermos cada velocidade instantânea da letra (b),

Para t 1 = 1 2 :

s ' 0,5 = 324 . 0,5 ( 2 . 0,5 + 1 ) 5 = 162 32 ≅ 5,06   c m / s

Para t 1 = 1 :

s ' 1 = 324 . 1 ( 2 . 1 + 1 ) 5 = 324 243 ≅ 1,33   c m / s

Resposta

  1. v = 324 t ( 2 t + 1 ) 5
  2. Para t 1 = 1 2 → v = 5,06   c m / s  

Para t 1 = 1 → v = 1,33   c m / s  

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