Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 40

Nos exercícios de 39 a 44, ache a área da região, tomando como medida da altura do i - é s i m o retângulo   f ( m i ) , onde m i é o ponto médio do i - é s i m o subintervalo. Sugestão: m i = 1 2 x i + x i - 1 .

40. A região do Exercício 21.

Passo 1

A região do exercício 21 é:

O intervalo da região será [ 0,2 ] e a função é f ( x ) = x 2 . Sendo assim,

Δ x = 2 - 0 n = 2 n

m i = 1 2 x i + x i - 1

f m i = 1 2 x i + x i - 1 ⏟ m i 2 = 1 2 0 + 2 i n + 0 + 2 i - 1 n 2

f m i = 2 i + 2 i - 2 2 n 2 = 4 i - 2 2 4 n 2 = 16 i - 1 2 2 4 n 2 = 4 i - 1 2 2 n 2

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f m i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 i - 1 2 2 n 2 2 n   = lim n → + ∞ ⁡ 8 n 3 ∑ i = 1 n i - 1 2 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 - i + 1 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2   - ∑ i = 1 n i + 1 2 ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

A = lim n → + ∞ ⁡ 8 n 3 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6   - n ( n + 1 ) 2 + 1 2 n

A = lim n → + ∞ ⁡ 8 n n 1 + 1 n 2 + 1 n 6   – n n 2 1 + 1 n 2 + 1 2 n n 3

A = 8 1 + 0 2 + 0 6   – 0 1 + 0 2 + 0

A = 8 2 6   = 8 3

Logo, a área é 8 3   u . a .

Resposta

A = 8 3   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma tabela de valores de uma função crescente f é dada. Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para ∫ 0 25 f x d x .
(a) Calcule a soma de Riemann para f x = sen ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 3 π 2 , e com seis termos, tomando os pontos amostrais como as extremidades direitas. (Dê a resposta correta até a sexta casa decimal). Expliq
Se f x = x - 2 ,1 ≤ x ≤ 6 , calcule a soma de Riemann com n = 5 correta até a sexta casa decimal, tomando como pontos amostrais os pontos médios. O que representa a soma de Riemann? Ilustre com um dia
Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ x i x i . ∆ x [ π ,2 π ]
Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para o Exercício 9 da Seção 5.1), calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = sen ⁡ ( x 2 ) no intervalo [ 0,1