Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 26
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.
26.
Passo 1
Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.
E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.
Passo 2
Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.
Passo 3
Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.
A expressão acima só irá zerar quando , para isso acontecer, temos que:
Ou ainda:
Isso acontece pelo fato de cosseno ser uma função periódica.
Passo 4
Então achamos o valores de x onde ocorrem estremos relativos, que são . Agora vamos achar o extremo relativo, jogando o x que encontramos na nossa função.
Agora temos que se n for ímpar:
Se n é par:
Passo 5
Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.
Vemos que para:
Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.
Para:
Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.
Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de e crescente depois do mesmo, logo é ponto de mínimo e como a função é crescente antes de e decrescente depois do mesmo, logo é ponto de máximo.
Vale mencionar que
fornece os mesmos valores que
com n ímpar, então por isso os intervalos de x foram definidos em termos do primeiro.
Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.
Passo 6
Abaixo podemos ver o gráfico da função.
Resposta
- e são extremos relativos.
- Em e ocorre extremo relativo.
- é crescente em
- é decrescente em