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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 17

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

17. f x = ( 2 x + 1 ) 3

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a) f é crescente em toda a parte, a não ser pelo ponto em que a derivada se anula, em x = - 1 / 2 . Então, o intervalo será:

( - ∞ ,   - 1 / 2 ) ∪ ( - 1 / 2 ,   + ∞ )

Passo 3

(b) f não é decrescente em nenhum intervalo.

Passo 4

(c) f passa a ter concavidade voltada pra cima a partir do ponto de inflexão x = - 1 / 2 . Logo, no intervalo:

( - 1 / 2 ,   + ∞ )

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo desde - ∞ até o ponto de inflexão em x = - 1 / 2 , logo, no intervalo:

( - ∞ , - 1 / 2 )

Passo 6

(e)Pra determinar os pontos de inflexão, precisamos derminar os pontos em que a derivada segunda da função se anula. Derivamos então, pela regra da cadeia:

f ' x = 3 ∙ 2 x + 1 2 ∙ 2 = 6 ∙ 2 x + 1 2

f ' ' x = 6 ∙ 2 ∙ 2 x + 1 ∙ 2 = 24 ∙ ( 2 x + 1 )

Assim, teremos:

24 ∙ 2 x + 1 = 0

2 x + 1 = 0 ≡ x = - 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que e x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que e x ? E qual cresce mais lentamente? x - 3 x 3 + sin 2 ⁡ x x 4 x 3 2 x e x 2 e x 2 log 10 ⁡ x
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Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que ln ⁡ x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que ln ⁡ x ? E qual cresce mais lentamente? log 2 ⁡ x 2 log 10 ⁡ 10 x 1 x 1 / x 2 x - 2 ln ⁡ x