Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 31
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.
31.
Passo 1
Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.
E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.
Passo 2
Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.
Para temos:
Para temos:
Passo 3
Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.
Podemos ver que nossa derivada para deu uma constante, logo para nunca é igual a 0.
Como a descontinuidade de acontece em , logo esse ponto é um ponto crítico de .
Para :
Passo 4
Então achamos os valores de x que é ponto crítico de , que é e . Agora vamos ver o valor de para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.
Para , nossa função é:
Para , nossa função é:
Passo 5
Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.
Vemos que para:
Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.
Passo 6
Abaixo podemos ver o gráfico da função.
Resposta
- e são extremos relativos.
- Em e em ocorre extremo relativo.
- é crescente em , .
- é decrescente em .