Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 9

Seja f x = 1 4 x 4 - x 3 + x 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 1 4 . 4 . x 3 - 3 . x 2 + 2 . x ⇒

f ' x = x 3 - 3 x 2 + 2 x

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

x 3 - 3 x 2 + 2 x = 0 ⇒

x ( x 2 - 3 x + 2 ) = 0

Logo:

x = 0

Ou: x 2 - 3 x + 2 = 0 ⇒

∆ = - 3 2 - 4 . 1 . 2 ⇒

∆ = 9 - 8 = 1 ⇒

x = - - 3 ± 1 2 . 1 ⇒

x = 3 + 1 2 = 4 2 o u 3 - 1 2 = 2 2   ⇒

Portanto:

x = 2 ou x = 1 .

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = 0 , quando x = 1 e quando x = 2 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = 0 , em x = 1 e em x = 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < 0 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ 0 < x < 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 1 < x < 2 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 0 temos um ponto de mínimo relativo, em x = 1 temos um ponto de máximo relativo e em x = 2 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 1 4 x 4 - x 3 + x 2 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 1 4 x 4 - x 3 + x 2 é decrescente nos intervalos ( - ∞ ,   0 ) e ( 1,2 ) , crescente nos intervalos 0,1 e ( 2 ,   + ∞ ) , admite mínimo relativo em x = 0 e em x = 2 e máximo relativo em x = 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os
45. Ache a, b, c e d, de tal forma que a função definida por f x = a x 3 + b x 2 + c x + d tenha extremos relativos em (1,2) e (2,3)
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os