31. Sob um monopólio, que significa que há apenas um produtor de certa mercadoria, o preço e então a demanda podem ser controlados, regulando-se a quantidade da mercadoria produzida. Suponha que, sob um monopólio, x unidades sejam demandadas diariamente, quando p é o preço por unidade e x = 140 - p . Se a quantia em dinheiro no custo total da produção de x unidades for dada por C(x) = x^2 + 20x + 300 , ache o lucro total diário máximo.

Passo 1

Temos que achar o lucro total diário máximo e sabemos que o preço da mercadoria obedece uma equação, vamos olhar as equações e calcular o valor máximo de lucro.

Passo 2

Vamos organizar as equações. A de custo é dada, C x = x 2 + 20 x + 300 , a de rendimento (R) será proporcional ao número de unidades vendidas x = 140 - p , então o rendimento será x multiplicado pelo preço, R ( x ) = x p . Agora o lucro (L) será o rendimento menos o custo, assim:

L x = R x - C ( x )

Substituindo as equações...

L x = x p - ( x 2 + 20 x + 300 )

Mas p = 140 - x

L x = x 140 - x - x 2 - 20 x - 300

L x = 140 x - x 2 - x 2 - 20 x - 300

L x = - 2 x 2 + 120 x - 300

Certinho? Essa é a principal equação que vamos usar.

Passo 3

Como queremos lucro máximo, vamos derivar L ( x ) e igualar a zero, aí achamos as x unidades para lucro máximo.

Derivando...

L ' x = - 4 x + 1 20

L ' x = 0 = - 4 x + 1 20

0 = - 4 x + 320

x = 3 0

Por isso, 30 unidades produzidas dão o desejado lucro máximo.

Passo 4

A questão pede o valor desse lucro, para isso, basta substituir o valor que encontramos de x na equação de L ( x ) .

L x = - 2 x 2 + 120 x - 300

L 3 0 = - 2 30 2 + 120 ( 30 ) - 300 = $ 1.500

Prontinho

Resposta

Lucro de $ 1.500 .

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