Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 31
31. Sob um monopólio, que significa que há apenas um produtor de certa mercadoria, o preço e então a demanda podem ser controlados, regulando-se a quantidade da mercadoria produzida. Suponha que, sob um monopólio, unidades sejam demandadas diariamente, quando é o preço por unidade e . Se a quantia em dinheiro no custo total da produção de unidades for dada por , ache o lucro total diário máximo.
Passo 1
Temos que achar o lucro total diário máximo e sabemos que o preço da mercadoria obedece uma equação, vamos olhar as equações e calcular o valor máximo de lucro.
Passo 2
Vamos organizar as equações. A de custo é dada, , a de rendimento (R) será proporcional ao número de unidades vendidas , então o rendimento será multiplicado pelo preço, . Agora o lucro (L) será o rendimento menos o custo, assim:
Substituindo as equações...
Mas
Certinho? Essa é a principal equação que vamos usar.
Passo 3
Como queremos lucro máximo, vamos derivar e igualar a zero, aí achamos as unidades para lucro máximo.
Derivando...
Por isso, 30 unidades produzidas dão o desejado lucro máximo.
Passo 4
A questão pede o valor desse lucro, para isso, basta substituir o valor que encontramos de na equação de .
Prontinho
Resposta
Lucro de .