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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 2

Seja f x = 3 x 2 - 3 x + 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 3.2 x - 3 ⇒

f ' x = 6 x - 3

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

6 x - 3 = 0 ⇒

6 x = 3 ⇒

x = 3 6 ⇒

x = 1 2

Assim o ponto crítico de f ocorre quando x = 1 2 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = 1 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < 1 2 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 1 2 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x 3 - x 2 - x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 3 x 2 - 3 x + 2 é crescente no intervalo ( 1 2 ,   + ∞ ) , decrescente no intervalo ( - ∞ , 1 2 ) e admite mínimo relativo em x = 1 2 .

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