Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

28.

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Multiplicando os dois lados por :

Então achamos os valores de x onde ocorrem estremos relativos, que são e . Agora vamos achar os extremos relativos, jogando o x que encontramos na nossa função.

Primeiro :

Agora :

Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.

Vemos que para:

Basta avaliar a função em valor qualquer maior que 0.

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

Basta avaliar a função em valor qualquer maior que 1.

Olhando essas avaliações você pode ver que 0 é um extremo relativo de , pois como não é definido ele é um número crítico de .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de 0 e crescente depois do mesmo, logo é ponto de mínimo, como a função é crescente antes de e decrescente depois do mesmo, logo é ponto máximo e como a função é decrescente antes de e crescente depois do mesmo, logo é ponto mínimo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Abaixo podemos ver o gráfico da função.