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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 4

Seja f x = x 3 - 9 x 2 + 15 x - 5 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 3 x 2 - 9.2 x + 15 ⇒

f ' x = 3 x 2 - 18 x + 15

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

3 x 2 - 18 x + 15 = 0 ⇒

x = - ( - 18 ) ± - 18 2 - 4 3 15 2 ( 3 ) ⇒

x = 18 ± 324 - 180 6 ⇒

x = 18 ± 144 6 ⇒

x = 18 ± 12 6

Logo:

x = 18 + 12 6 = 30 6 = 5

Ou:

x = 18 - 12 6 = 6 6 = 1

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = 1 ou x = 5 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = 1 ou x = 5 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 1 < x < 5 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 5 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 1 temos um ponto de máximo relativo e em x = 5 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x 3 - 9 x 2 + 15 x - 5 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x 3 - 9 x 2 + 15 x - 5 é crescente no intervalo ( - ∞ ,   1 ) e ( 5 ,   + ∞ ) , decrescente no intervalo ( 1 ,   5 ) , admite mínimo relativo em x = 5 e máximo relativo em x = 1 .

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