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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 16

Seja f x = 2 x + 1 2 x . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função de divisão polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real exceto para x = 0 , onde possui descontinuidade. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 2 . x 0 + - 2 . 1 . x 0 2 x 2 ⇒

f ' x = 2 + - 2 4 x 2 ⇒

f ' x = 2 - 1 2 x 2

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , exceto para x = 0 , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

2 - 1 2 x 2 = 0 ⇒

1 = 1 2 x 2 ⇒

2 x 2 = 1 ⇒

x 2 = 1 2

Logo:

x = ± 1 2  

Portanto os pontos críticos existentes em f são o ponto x = - 1 2 e o ponto x = 1 2 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 1 2 e em x = 1 2   devemos aplicar o teste da primeira derivada. Devemos também estudar o crescimento e decrescimento da função f em relação ao ponto de descontinuidade x = 0 . Assim:

→ x < - 1 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 1 2 < x < 0 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ 0 < x < 1 2 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 1 2 temos um ponto de mínimo relativo e em x = - 1 2 temos um ponto de máximo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 2 x + 1 2 x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 2 x + 1 2 x é crescente nos intervalos - ∞ ,   - 1 2 e ( 1 2 , + ∞ ) , decrescente nos intervalos ( - 1 2 , 0 ) e 0 , 1 2 , admite máximo relativo em x = - 1 2 , admite mínimo relativo em x = 1 2 e possui comportamento assintótico em   x = 0 .

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