Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 38

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

38. f x = x + a 2 5 + 1

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = x + a 2 5 + 1

f ' x = 2 5 x + a 2 5 - 1

= 2 5 x + a - 3 5

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

2 5 x + a - 3 5 = 0

2 5 1 x + a 3 5 = 0

Chegamos a um obstáculo, pois essa expressão não zera pra nenhum valor de, e mesmo que usássemos x = - a teríamos um 0 no denominador o que não é uma coisa legal.

Logo nossa

Passo 4

Uma coisa que ainda podemos fazer é avaliar a derivada para saber os intervalos que ela é menor ou maior que zero.

O sinal da derivada vai depender de certar condições, que são:

Se a < 0 e x < a :

f ' x < 0

Se a < 0 e x > a

f ' x > 0

Se a > 0 e x < - a :

f ' x < 0

Se a > 0 e x > - a

f ' x > 0

Então temos dois casos principais, a < 0 e a > 0

Passo 5

Levando em conta o que foi falado no passo anterior precisamos responder as perguntas do enunciado para cada caso separadamente.

Primeiro a < 0 :

Temos

x < a → f ' x < 0

x > a → f ' x > 0

Olhando essas avaliações você pode ver que a é extremo relativo de f x , pois como f ' ( a ) apresentam uma singularidade (palavra bonita para coisa estranha kk) ele é número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de a e crescente depois do mesmo, logo f a é ponto mínimo.

Agora para a > 0 :

Temos

x < - a → f ' x < 0

x > - a → f ' x > 0

Olhando essas avaliações você pode ver que - a é extremo relativo de f x , pois como f ' ( - a ) apresentam uma singularidade (palavra bonita para coisa estranha kk) ele é número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de - a e crescente depois do mesmo, logo f - a é ponto mínimo.

Passo 6

Um gráfico que representa o caso a > 0 é:

Um gráfico que representa o caso a < 0 é:

Resposta

Para a > 0 :

  1. f - a   é extremo relativo.

  2. Em x = - a ocorre extremo relativo.

  3. f ( x ) é crescente em [ - a , + ∞ )

  4. f ( x ) é decrescente em ( - ∞ , - a ]

Para a < 0 :

  1. f a   é extremo relativo.

  2. Em x = a ocorre extremo relativo.

  3. f ( x ) é crescente em [ a , + ∞ )

  4. f ( x ) é decrescente em ( - ∞ , a ]
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). g x = x - e x
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). y = e - x 2
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = ln ⁡ x x
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). x = 2 - e - t
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). g x = x e x