Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 49
Nos exercícios de a , calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 1
Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:
Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.
Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa um limaçom visto que ela tem a forma de:
Repara que é somente uma curva que está limitando a área (ele não fala que é de uma curva até a outra, por exemplo), então nem precisamos analisar a figura. Os limites de integração vão ser a volta completa no plano de coordenadas polares. O vai variar de a . (também daria pra ser variando de a )
Além disso, visto que a função cosseno é par , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de a , tal que o comprimento total será duas vezes o resultado obtido.
Passo 2
Portanto, substituindo na equação da área da curva:
Lembrando da identidade trigonométrica:
Então:
Passo 3
Logo, resolvendo a integral:
E substituindo os limites de integração:
Logo: