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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 53

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

5 3 )   y 2 - 1 x - 3 = 6

Passo 1

Vamos escrever isso como y x antes de mais nada, belezinha? Saca só:

y 2 - 1 x - 3 = 6

y 2 - 1 = 6 x - 3

y 2 = 6 x - 3 + 1

y 2 = 6 x - 3 + x - 3 x - 3

y 2 = x + 3 x - 3

Logo:

y x = ± x + 3 x - 3

Passo 2

Então bora lá achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito:

lim x → ± ∞ ⁡ ± x + 3 x - 3 = lim x → ± ∞ ⁡ ± x 1 + 3 x x 1 - 3 x = lim x → ± ∞ ⁡ ± 1 + 3 x 1 - 3 x

Ficamos com

lim x → ± ∞ ⁡ ± 1 + 3 x 1 - 3 x = ± 1 + 0 1 - 0 = ± 1 = ± 1

Limites deram números? Então show, temos assíntotas horizontais!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. Como:

y x = ± x + 3 x - 3

Se analisarmos bem vamos ver que x = - 3 e x = 3 são os pontos pra se analisar. Afinal o primeiro zera a raiz e o segundo o denominador. Analisando sinal:

Pra raiz não ficar negativa basta a gente fazer os seguintes limites laterais:

lim x → - 3 - ⁡ ± x + 3 x - 3 = ± 0 = 0

lim x → 3 + ⁡ ± x + 3 x - 3 = ± 6 0 + = ± + ∞ = ± ∞

Nesse caso só x = 3 é assíntota vertical pois foi o único que explodiu

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ ± x + 3 x - 3 = ± 1

lim x → 3 + ⁡ ± x + 3 x - 3 = ± ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ ± x + 3 x - 3 = ± 1

lim x → 3 + ⁡ ± x + 3 x - 3 = ± ∞

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69-73. A noção de assíntota pode ser estendida para incluir curvas não necessariamente retas. Especificamente, dizemos que as curvas y = f ( x ) e y = g x são assintóticas quando x → + ∞ se: lim x → +
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Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada do limite lim x → ∞ ⁡ ( 9 x 2 + x - 3 x ) .