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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 56

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

5 6 )   x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0

Passo 1

Vamos escrever isso como y x antes de mais nada, belezinha? Saca só:

x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0

y x 2 + 4 x + 4 - x 2 + x - 6 = 0

y x 2 + 4 x + 4 = x 2 - x + 6

y x = x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4

Passo 2

Bora achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito, beleza?

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 1 - 1 x + 6 x 2 x 2 1 + 4 x + 4 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 1 x + 6 x 2 1 + 4 x + 4 x 2

Nos dois casos teremos

lim x → ± ∞ ⁡ 1 - 1 x + 6 x 2 1 + 4 x + 4 x 2 = 1 - 0 + 0 1 + 0 + 0 = 1

Limites deram números? Então beleza, temos uma assíntota horizontal!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. No caso, limites laterais pra x = - 2 , que é o único ponto que zera o denominador

lim x → - 2 - ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 12 0 + = + ∞

lim x → - 2 + ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 12 0 + = + ∞

Se os limites explodiram então temos duas assíntotas verticais!

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 1

lim x → - 2 - ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 12 0 + = + ∞

lim x → - 2 + ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 12 0 + = + ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 1

lim x → - 2 - ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 12 0 + = + ∞

lim x → - 2 + ⁡ x 2 - x + 6 x 2 + 4 x + 4 = 12 0 + = + ∞

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