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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 8

Nos Exercícios 5-10, determine as trajetórias ortogonais da família de curvas. Esboce vários membros de cada família.

8 - 2 x 2 + y 2 = c 2

Passo 1

2 x 2 + y 2 = c 2

Assim derivando:

4 x + 2 y y ' = 0

2 y y ' = - 4 x

y ' = - 4 x 2 y

y ' = - 2 x y

Para a ortogonalidade, teremos:

d y d x = y 2 x

Assim:

d y y = d x 2 x

Precisaredmos integrar a função:

∫ d y y = ∫ d x 2 x

A s s i m :

ln ⁡ y = 1 2 ∫ d x x

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ x + ln ⁡ C 1

Assim:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 2 + ln ⁡ C 1

Simplificando os ln:

y = C 1 x 1 2

Resposta

y = C 1 x 1 2

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