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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 57

Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.

57. f x = - 3 x 2 - 1 em [ 0 ,   1 ]

Passo 1

Então galera, para determinarmos o valor médio de uma função, assim como discutido na seção 3 do George, basta calcularmos isso aqui ó:

M é d i a   f = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

E para calcularmos o valor dessa integral, assim como discutido nessa mesma seção, basta lembrarmos das seguintes integrais:

∫ a b x d x = b ² 2 - a 2 2 ,   a < b

∫ a b c d x = c b - a

∫ a b x ² d x = b ³ 3 - a 3 3 ,   a < b

Passo 2

Se plotarmos o gráfico dessa função f no intervalo apresentado pela questão, teremos o seguinte:

Passo 3

Por fim, calculando o valor médio:

M é d i a   f = 1 1 - 0 ∫ 0 1 - 3 x 2 - 1 d x

M é d i a   f = - 3 ∫ 0 1 x 2 d x - ∫ 0 1 d x

∴ M é d i a   f = - 3 . 1 3 - 1 = - 2

Resposta

M é d i a   f = - 2

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