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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.1 - Ex. 11

Nos exercícios 7-14, utilize o método no Exemplo 3 para determinar a) o coeficiente angular da curva no ponto P dado, e b) uma equação da reta tangente em P

y = x 3 ,     P ( 2,8 )

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as coordenadas do ponto Q que está na reta secante. Para a coordenada x desse ponto basta fazer a coordenada x de P somado a um incremento h , ou seja

2 + h

A outra coordenada será dada pelo valor da função em 2 + h , ou seja

y = 2 + h 3 = 8 + 12 h + 4 h 2 + h 3

Logo,

Q ( 2 + h , 8 + 12 h + 4 h 2 + h 3 )

Passo 2

a) Agora vamos obter a expressão do coeficiente angular, a , em função de h !

a = Δ y Δ x = 8 + 12 h + 4 h 2 + h 3 - 8 2 + h - 2 = 12 h + 4 h 2 + h 3 h = 12 + 4 h + h 2

Agora devemos fazer h = 0 e ver se obtemos um número para a . Nesse caso, vamos ter que

a = 1 2

Passo 3

b) Dado o ponto P ( 2,1 ) e o coeficiente a = 2 , temos que a reta tangente é dada por

y - y 0 = a ( x - x 0 )

Onde x 0 , y 0 são as coordenadas do ponto P . Logo,

y - 8 = 1 2 x - 2 → y = 1 2 x - 16

Resposta

  1. 12
  2. y = 12 x - 16
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Prove que lim x → a ⁡ x ² = a ² ² ², se a for qualquer número negativo.