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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 62

Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Ocorrem com frequência em cálculo. Nos exercícios 57-62, avalie esse limite para os valores dados de x e a função f

f x = 3 x + 1 ,   x = 0

Passo 1

Como x = 0 , vamos achar as expressões de f ( h ) e de f ( 0 ) . Depois vamos montar o limite e o resolver.

Passo 2

Como f x = 3 x + 1 , temos que

f 0 = 3 0 + 1 = 1 = 1

f h = 3 h + 1

Passo 3

Vamos montar o limite, seguindo a fórmula do enunciado

lim h → 0 ⁡ 3 h + 1 - 1 h

Passo 4

Agora vamos tentar resolver o limite. A primeira coisa que devemos tentar é substituir direto e ver se vai dar um número

lim h → 0 ⁡ 3 h + 1 - 1 h = 3 ( 0 ) + 1 - 1 0 = 0 0

Vamos manipular o limite. Como temos raiz no numerador, vamos multiplicar pelo conjugado, que nesse caso é:

3 h + 1 + 1

Então,

3 h + 1 - 1 h ( 3 h + 1 + 1 ) ( 3 h + 1 + 1 )   = 3 h + 1 - 1 3 h + 1 + 1 h 3 h + 1 + 1

Agora vamos lembrar do caso de diferença de quadrados, isso é

a - b a + b = a 2 - b 2

Comparando as expressões, temos que a = 3 h + 1 e b = 1 . Assim

3 h + 1 - 1 3 h + 1 + 1 h 3 h + 1 + 1 = 3 h + 1 2 - 1 2 h ( 3 h + 1 + 1 ) = 3 h h ( 3 h + 1 + 1 ) = 3 ( 3 h + 1 + 1 )

Agora juntando tudo e substituindo o valor do ponto, temos

lim h → 0 ⁡ 3 h + 1 - 1 h = lim h → 0 ⁡ 3 ( 3 h + 1 + 1 ) = 3 ( 3 ( 0 ) + 1 + 1 ) = 3 2

Resposta

3 2

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Quais das afirmações a seguir com relação à função y = f ( x ) representada graficamente aqui são verdadeiras? E quais são falsas? a ) lim x → 0 ⁡ f ( x ) existe b ) lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 c ) lim x
Quais das afirmações a seguir com relação à função y = f ( x ) representada graficamente aqui são verdadeiras? E quais são falsas? a ) lim x → 2 ⁡ f ( x ) não existe b ) lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 2 c ) li