Nos Exercícios de 43 a 46, ache f'(a) aplicando a fórmula (4).

46) f(x) = 2 / raiz(x) - 1; a = 4

Passo 1

A fórmula (4) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = 2 x - 1 , temos:

f x 1 + ∆ x = 2 x 1 + ∆ x - 1 e

f x 1 = 2 x 1 - 1

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 1 + ∆ x - 1     - [ 2 x 1 - 1 ] ∆ x

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 1 + ∆ x     - 2 x 1 ∆ x

Multiplicando numerador e denominador por 2 x 1 + ∆ x   + 2 x 1 , conseguimos utilizar a diferença de quadrados ( a 2 - b 2 = a + b . a - b ) e simplificar a expressão:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ ( 2 x 1 + ∆ x     - 2 x 1 ) ∆ x . 2 x 1 + ∆ x   + 2 x 1 2 x 1 + ∆ x   + 2 x 1

Chegamos a:

f ' x = - 1 x 3

Na variável a:

f ' a = - 1 a 3

Substituindo a = 4

f ' 4 = - 1 4 3 = - 1 8

Resposta

f ' 4 = - 1 8

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