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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 46

Nos Exercícios de 43 a 46, ache f ' ( a ) aplicando a fórmula (4).

46) f x = 2 x - 1 ; a = 4

Passo 1

A fórmula (4) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = 2 x - 1 , temos:

f x 1 + ∆ x = 2 x 1 + ∆ x - 1 e

f x 1 = 2 x 1 - 1

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 1 + ∆ x - 1     - [ 2 x 1 - 1 ] ∆ x

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 1 + ∆ x     - 2 x 1 ∆ x

Multiplicando numerador e denominador por 2 x 1 + ∆ x   + 2 x 1 , conseguimos utilizar a diferença de quadrados ( a 2 - b 2 = a + b . a - b ) e simplificar a expressão:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ ( 2 x 1 + ∆ x     - 2 x 1 ) ∆ x . 2 x 1 + ∆ x   + 2 x 1 2 x 1 + ∆ x   + 2 x 1

Chegamos a:

f ' x = - 1 x 3

Na variável a:

f ' a = - 1 a 3

Substituindo a = 4

f ' 4 = - 1 4 3 = - 1 8

Resposta

f ' 4 = - 1 8

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Dado que f - 2 = 3 e f ' - 2 = - 4 , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto x = - 2 .
Dado que a reta tangente a y = f x no ponto 1,2 passa pelo ponto - 1 , - 1 , encontre f ' 1 .
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = - 1 , f ' 0 = 0 , f ' x0 se x0 e f ' x0 se x0 .
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = 1 x
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, arranje os números 0 , f ' - 3 , f ' 0 , f ' 2 e f ' 4 em ordem crescente.