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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 13

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

13 .     f x = x 2 c o s x - 2 x s e n x - 2 c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Nós queremos a derivada da função, que será:

f ' x = x ² ⋅ c o s x ' - 2 x ⋅ s e n x ' - ( 2 ⋅ c o s x ) '

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em três termos.

1 º   t e r m o - x 2 c o s x

2 º   t e r m o - 2 x s e n x

3 º   t e r m o -   2 c o s x

Usaremos a regra do produto e a derivação polinomial para derivar as funções separadamente e depois iremos subtrair as derivadas.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Derivação polinomial:

x a ' = a ⋅ x a - 1

Passo 2

1º - Derivada de   x 2 c o s x

x ² c o s x ' =   x ² ' ⋅ c o s x + c o s x ' ⋅ x ²

                                        = 2 x 2 - 1 ⋅ c o s x + ( - s e n x ) ⋅ x ²

                                        = 2 x ⋅ c o s x - x 2 ⋅ s e n x

Passo 3

2º - Derivada de   2 x s e n ( x )

2 x s e n x ' =   2 x ' ⋅ s e n x + s e n x ' ⋅ 2 x

                                          = 2 ⋅ s e n x + c o s x ⋅ 2 x

Passo 4

3º - Derivada de   2 c o s ( x )

2 c o s x ' =   2 ' ⋅ c o s x + c o s x ' ⋅ 2

                                    = 0 ⋅ c o s x + ( - s e n x ) ⋅ 2

                                    = 0 ⋅ c o s x - 2 ⋅ s e n x

Passo 5

Por fim, subtraímos as três derivadas:

f ' x = 2 x ⋅ c o s x - x 2 ⋅ s e n x - 2 ⋅ s e n x + c o s x ⋅ 2 x - ( 0 ⋅ c o s x - 2 ⋅ s e n x )

                        = 2 x ⋅ c o s x - x 2 ⋅ s e n x   - 2 ⋅ s e n x - c o s x ⋅ 2 x + 2 ⋅ s e n x

                        =   - x 2 ⋅ s e n x

Resposta

f ' x = - x 2 s e n ( x )

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Se H θ = θ sen ⁡ θ , encontre H ' ( θ ) e H " ( θ ) .
Se f x = sec ⁡ x , encontre f " ( π / 4 ) .
(a) Se f x = e x cos ⁡ x , encontre f ' ( x ) e f " ( x ) .(b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável fazendo os gráficos de f , f ' e f " .
Encontre a derivada. Simplifique quando possível. 30 . f x = e x senh ⁡ x
Derive. f ( θ ) = s e cθ 1+s e cθ