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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 45

Nos exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.

45)   lim t → 0 ⁡ t + a 2 3 - a 2 3 t  

Passo 1

Nós queremos calcular o limite da função   t + a 2 3 - a 2 3 t , quando o t tender a 0, ou seja, se aproximar do valor 0.

Iremos multiplicar numerador e denominador por ( t + a 2 3 ) 2 - t + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2 , para utilizarmos a diferença de cubos a 3 - b 3 = a - b . ( a 2 + a b + b 2 ) e assim eliminarmos as raízes cúbicas.

( t + a 2 3 - a 2 3 ) t .   ( t + a 2 3 ) 2 - t + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2 ( t + a 2 3 ) 2 + t + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2

= t + a 2 - a 2 t . ( t + a 2 3 ) 2 + t + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2

Desenvolvendo a diferença de quadrados, temos:

= t + a + a . ( t + a - a ) t . ( t + a 2 3 ) 2 + t + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2

Simplificando:

= 2 a ( t + a 2 3 ) 2 + t + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2

Agora precisamos resolver o limite desta função.

Passo 2

lim t → 0 ⁡ 2 a ( t + a 2 3 ) 2 + t + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2

Substituindo t por 0, temos:

= 2 a ( 0 + a 2 3 ) 2 + 0 + a 2 3 . a 2 3 + a 2 3 2

= 2 a a 4 3 + a 4 3 + a 4 3

= 2 a 3 a 4 3

= 2 3 a 1 3

Resposta

lim t → 0 ⁡ t + a 2 3 - a 2 3 t   = 2 3 a 1 3

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Calcule e justifique:underset(x - 3)(lim) (sqrt(x) - sqrt(3))/(x - 3)
Calcule d ) underset(x - 0^+)(lim) (3^x - 1)/(x^2)
Calcule a ) underset(x - 0)(lim) (e^(2 x) - 1)/(x)
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Calcule b ) underset(x - 0)(lim) (e^(x^2) - 1)/(x)