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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 3d

Calcule

d ) underset(x -> 0^+)(lim) (3^x - 1)/(x^2)

Passo 1

Primeiro vou reescrever o argumento do limite da seguinte forma:

underset(x -> 0^+)(lim) (3^x - 1)/(x^2) = underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(x) ((3^x - 1)/(x))

Certo?

Passo 2

Sabendo que o limite de um produto é o produto dos limites, podemos separar esse limite na multiplicação de dois limites, saca só:

underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(x) ((3^x - 1)/(x)) = [underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))] . [underset(x -> 0^+)(lim) ((3^x - 1)/(x))]

Passo 3

O primeiro limite da direita vai pra + oo , mas e o segundo? Bom, lembrando da propriedade que mostramos no exercício 2 temos:

underset(h -> 0)(lim) (a^h - 1)/(h) = ln a

No nosso caso h = x e a = 3 , não é?

Substituindo no produto dos limites que achamos no passo anterior temos:

underset(x -> 0^+)(lim) (3^x - 1)/(x^2) = [underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))] . [underset(x -> 0^+)(lim) ((3^x - 1)/(x))] = [+ oo] . [ln (3)] = + oo

Pois qualquer número real (no nosso caso ln 3 ) multiplicado por infinito é infinito, então a resposta do nosso limite é + oo .

Beleza?

Resposta

+ oo

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