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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 26

Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

underset(x -> 1^-)(lim) (2 x^3 - 5 x^2)/(x^2 - 1)

Passo 1

Olá seus lindxs, como estão? Bora mais uma questão?

Bom, aqui temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso x tendendo a 1 lateralmente, apenas pelos valores menores que o 1, ou seja, tá tendendo a 1 pela esquerda.

Primeiro passo é sempre o mesmo, tentar substituir o valor x e ver no que dá:

underset(x -> 1^-)(lim) (2 x^3 - 5 x^2)/(x^2 - 1) = (2 (1)^3 - 5 (1)^2)/((1)^2 - 1) = (2 - 5)/(1 - 1) = (- 3)/(0)

Olha que beleza... Já caímos no 0 no denominador! Sabemos que isso aí vai tender a infinito, então é só fazer nossa análise de sinais para saber se vai tender a + oo ou - oo e fechar nossa questão :D

Passo 2

Nossa expressão é essa aqui:

(2 x^3 - 5 x^2)/(x^2 - 1)

Começando por quem tá por cima, pelo nosso numerador. O que acontece com ele quando x tende a 1 por valores menores que 1, ou seja, pela esquerda:

x = 0 -> 2 (0)^3 - 5 (0)^2 = 0 - 0 = 0

x = 0 , 9 -> 2 (0 , 9)^3 - 5 (0 , 9)^2 = 1,62 - 4,05 = - 2,43

x = 0 , 99 -> 2 (0 , 99)^3 - 5 (0 , 99)^2 = 1,94 - 4,90 = - 2,96

Aparentemente esse numerador aí tende a - 3 e sempre com valores negativos.

Agora vamos olhar o que tá por baixo, nosso denominador. O que acontece com ele quando x tende a 1 pela esquerda:

x = 0 -> (0)^2 - 1 = 0 - 1 = - 1

x = 0,9 -> (0 , 9)^2 - 1 = 0 , 81 - 1 = - 0,19

x = 0,99 -> (0 , 99)^2 - 1 = 0 , 9801 - 1 = - 0,0199

E esse nosso denominador aí, tá tendendo a 0 e sempre com valores negativos.

Analisando esse rolê todo que rolou: temos que o numerador será negativo e o denominador será negativo... logo temos um número com negativo no numerador que divide por outro negativo... E menos com menos dá mais! Ou seja, nosso limite vai ser um valor positivo.

Agora é só fechar tudão...

Passo 3

Sabemos que:

underset(x -> 1^-)(lim) (2 x^3 - 5 x^2)/(x^2 - 1) = (- 3)/(0)

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise, vimos que esse limite vai dar num número positivo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para + oo .

underset(x -> 1^-)(lim) (2 x^3 - 5 x^2)/(x^2 - 1) = + oo

Resposta

underset(x -> 1^-)(lim) (2 x^3 - 5 x^2)/(x^2 - 1) = + oo

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