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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 24

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:

24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e n   x ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .

Passo 1

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y , z d r →

E a nossa força f → x , y , z pela integral que vemos no enunciado:

∫ C y d x + z d y - x y d z

Tiramos que é dada por:

f → x , y , z = ( y , z , - x y )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é a intersecção de duas superfícies:

Passo 2

Vamos analisar agora, a primeira superfície:

y = s e n   x

E depois, dado que:

z = 4

Pronto! Chamando x de t , obtemos a seguinte parametrização:

γ t = ( t , s e n   t , 4 )

Passo 3

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y , z = ( y , z , - x y )

E fazendo a troca com os valores que obtemos na nossa parametrização, chegamos que:

f → x , y , z = ( s e n   t , 4 , - t s e n   t )

Passo 4

Seguindo nosso raciocínio... O passo número quatro consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' ( t ) = 1 , cos ⁡ t , 0

Passo 5

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y , z d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y , z d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

A questão nos fala que x ∈ [ 0,2 π ] . Desse modo, se x = t :

Nosso limite de integração, então vai 0 até 2 π :

∫ C f → x , y , z d r → =

= ∫ 0 2 π ( s e n   t , 4 , - t s e n   t ) 1 , cos ⁡ t , 0 d t =

= ∫ 0 2 π s e n   t + 4 cos ⁡ t d t = - cos ⁡ t + 4   s e n   t 0 2 π =

= - 1 - ( - 1 ) = 0

Resposta

0

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Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .