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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 10

Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .

Passo 1

Acho que como quase todos os problemas que encontramos em nosso livro, existe uma necessidade de recordarmos nossas aulas de Geometria Analítica. Por sorte temos um exercício fácil, mas um pouco trabalhoso.

Passo 2

Primeiro vamos definir nossa curva que é a que encontramos na interseção entre as duas superfícies. Assim tome

z = 2 - x 2 - y 2 = 2 - x 2 - x 4

Assim usando a seguinte parametrização, teremos

x = t

teremos

y = t 2

z = 2 - t 2 - t 4

E uma vez que escolhemos essa parametrização, teremos

d x = d t

d y = 2 t   d t

d z = - 2 t + 4 t 3 d t

Com nosso intervalo variando de 0 à 1

Passo 3

Agora podemos reescrever nossa integral como

∫ 0 1 d t + 2 t d t - ( 2 t + 4 t 3 ) d t = ∫ 0 1 1 - 4 t 3 d t

Que nos dá uma integral mais fácil do que imaginávamos. Assim teremos

= t - t 4 0 1 = 0

Resposta

0

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