Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.17. f → x , y , z = ( - y z , x z , x y ) ; C é a elipse x 2 + 9 y 2 = 36 no ponto z = 2 , orientada no sentido anti-horário.

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 17

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.

17. ; é a elipse no ponto , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

E a nossa força é dada por:

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Primeiro vamos esboçar da curva para entender o que está acontecendo... Temos um cilindro deslocado no eixo e um plano:

Como sabemos, devemos parametrizar . O objetivo aqui é descobrir a interseção entre a elipse e o plano. Para isso, vamos começar destrinchando a elipse:

Temos que a parametrização da projeção de no plano é dada, em coordenadas polares deslocadas, por:

Esse e esse vem da equação geral da elipse . Conseguimos então, que:

Show? Mas é uma curva de três dimensões. Tá faltando a coordenada que é dada pela equação do plano:

A nossa parametrização, então; vai ficar assim:

Onde .

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

Assim, bora tratar de fazer a troca:

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo fazendo:

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Já obtemos no que . Nosso limite de integração vai de até , portanto:

Resposta

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