Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 17
Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
17. ; é a elipse no ponto , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E a nossa força é dada por:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.
Primeiro vamos esboçar da curva para entender o que está acontecendo... Temos um cilindro deslocado no eixo e um plano:
Como sabemos, devemos parametrizar . O objetivo aqui é descobrir a interseção entre a elipse e o plano. Para isso, vamos começar destrinchando a elipse:
Temos que a parametrização da projeção de no plano é dada, em coordenadas polares deslocadas, por:
Esse e esse vem da equação geral da elipse . Conseguimos então, que:
Show? Mas é uma curva de três dimensões. Tá faltando a coordenada que é dada pela equação do plano:
A nossa parametrização, então; vai ficar assim:
Onde .
Passo 2
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Onde temos que:
Assim, bora tratar de fazer a troca:
Passo 3
Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Passo 4
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Ora bolas! Já obtemos no que . Nosso limite de integração vai de até , portanto: