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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 22

Ache o limite

underset(x -> + oo)(lim) (3 x^4 - 7 x^2 + 2)/(2 x^4 + 1)

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para oo .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(3 x^4 - 7 x^2 + 2)/(2 x^4 + 1)

Passo 2

O nosso numerador é

3 x^4 - 7 x^2 + 2

Colocando x^4 em evidência

x^4 (3 - (7)/(x^2) + (2)/(x^4))

Passo 3

O nosso denominador vai ser

2 x^4 + 1

Colocando x^4 em evidência

x^4 (2 + (1)/(x^4))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(3 x^4 - 7 x^2 + 2)/(2 x^4 + 1) = (x^4 (3 - (7)/(x^2) + (2)/(x^4)))/(x^4 (2 + (1)/(x^4))) = (3 - (7)/(x^2) + (4)/(x^4))/(2 + (1)/(x^4))

Agora, vamos tomar o limite

underset(x -> + oo)(lim) (3 x^4 - 7 x^2 + 2)/(2 x^4 + 1) = underset(x -> + oo)(lim) (3 - (7)/(x^2) + (4)/(x^4))/(2 + (1)/(x^4))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(x -> + oo)(lim) (3 - (7)/(x^2) + (4)/(x^4))/(2 + (1)/(x^4)) = (3 - 0 + 0)/(2 + 0) = (3)/(2)

Resposta

(3)/(2)

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