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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 51

Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções.

  1. y = x g ( x )
  2. y = x g x
  3. y = g x x

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos juntos resolver essa atividade.

Partindo da suposição de que a função g é derivável, então queremos achar a derivada de cada uma das funções dos itens abaixo:

  1. y = x g ( x )
  2. y = x g x
  3. y = g x x

Aqui a gente tem produto entre funções e quociente entre funções, sendo assim, deveremos utilizar a regra do produto e a regra do quociente.

A regra do produto, é a seguinte:

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

A regra de divisão para derivadas é dada por:

f g ' = f ' g - g ' f g 2

Onde f e g são funções.

Passo 2

  1. A primeira função que deveremos derivar é a:

    2. y = x g ( x )

    Para derivar y usaremos a Regra do Produto, pois temos o produto entre duas funções aqui:

    f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

    y ' = d x d x g x + x g ' x

    y ' = 1 g x + x g ' x

    y ' = g x + x g ' ( x )

    Passo 3

  2. Agora vamos para a derivada da divisão:

    3. y = x g ( x )

    Para derivar y usaremos a Regra do Quociente:

    f g ' = f ' g - g ' f g 2

    y ' = d d x x ∙ g x - x ∙ g ' x g x 2

    Realizando as derivadas:

    y ' = 1 g x - x g ' x g x 2

    Organizando o numerador:

    y ' = g x - x g ' x g x 2

    Passo 4

  3. Agora vamos utilizar a regra do quociente novamente para realizar a seguinte derivada:

y = g x x

Para derivar y usaremos a mesma regra do item " b " :

g f ' = g ' f - f ' g f 2

y ' = g ' x x - d d x x g ( x ) x 2

Realizando as derivadas:

y ' = g ' x x - g x 1 x 2

Organizando o numerador:

y ' = x g ' x - g x x 2

Resposta

a )   g x + x g ' ( x )

b )   g x - x g ' x g x 2

c ) x g ' x - g x x 2

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A curva y = x 1 + x ² ²é denominada serpentina. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto 3 ;0,3 . Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Se g x = x f ( x ) , onde f 3 = 4 e f ' 3 = - 2 , enontre uma equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto x = 3
Se f x = x ² - 1 x ² + 1 ² ² , encontre f ' x e f ' ' x .Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de f , f ' e f ' ' .
Derive a função. f x = x ln ⁡ x - x
Derive a função. f u = u 1 + ln ⁡ u