Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 63
61. Encontre expressões para as primeiras cinco derivadas de . Você percebe um padrão nestas expressões? Crie uma fórmula para e demonstre-a usando a indução matemática.
Passo 1
Fala aí, pessoal! 😬
Queremos encontrar as expressões das primeiras derivadas da função e tambem obter uma experssão que nos resulte em qualquer derivada.
Tem ideia de como fazemos isso? 👀
Analisando vemos que se trata de um produto de duas outras funções ( e ), portanto, para calcular sua derivada podemos aplicar a regra do produto.
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Vamos, então, à primeira derivada.
Para isso usaremos a Regra do Produto, assim:
A segunda derivada, obtemos derivando a primeira derivada , usando novamente a Regra do produto, assim:
A terceira derivada, obtemos derivando a segunda derivada , usando mais uma vez a Regra do Produto:
Da mesma forma teremos:
E assim por diante...
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Observe que para cada derivada de temos o fator e um fator quadrático cujos coeficientes seguem uma lei de formação.
Perceba que o coeficiente de é sempre a multiplicação da ordem de derivação pelo número 2, o coeficiente de é sempre o número 1, e o termo independente é a multiplicação da ordem pelo seu consecutivo antecessor. Assim, podemos concluir que:
Vamos provar por indução.
Seja a afirmativa para a ordem :
Temos como verdade as duas proposições:
Então, para ordem igual a temos que:
Isto mostra que para é verdade e assim provamos por indução.
E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎
