61. Encontre expressões para as primeiras cinco derivadas de . Você percebe um padrão nestas expressões? Crie uma fórmula para e demonstre-a usando a indução matemática.

Vamos, então, à primeira derivada.

Para isso usaremos a Regra do Produto, assim:

A segunda derivada, obtemos derivando a primeira derivada , usando novamente a Regra do produto, assim:

A terceira derivada, obtemos derivando a segunda derivada , usando mais uma vez a Regra do Produto:

Da mesma forma teremos:

E assim por diante...

Tranquilo até aqui? 😉

Observe que para cada derivada de temos o fator e um fator quadrático cujos coeficientes seguem uma lei de formação.

Perceba que o coeficiente de é sempre a multiplicação da ordem de derivação pelo número 2, o coeficiente de é sempre o número 1, e o termo independente é a multiplicação da ordem pelo seu consecutivo antecessor. Assim, podemos concluir que:

Vamos provar por indução.

Seja a afirmativa para a ordem :

Temos como verdade as duas proposições:

Então, para ordem igual a temos que:

Isto mostra que para é verdade e assim provamos por indução.

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎