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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 32

Nos Exercícios de 29 a 36, calcule a integral definida.

∫ 1 e ln ⁡ x x d x

Passo 1

Vamos começar fazendo a integração por substituição, onde o nosso u será:

u = l n ⁡ ( x )

Encontrando o diferencial de u , teremos:

d u = 1 x d x

x d u = d x

Vamos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

∫ x = 1 e u x d x = ∫ x = 1 e u x ⋅ x d u = ∫ x = 1 e u   d u =

Também podemos fazer a substituição dos limites da integral por u , dado que u = l n ⁡ ( x ) , teremos:

a = ln ⁡ 1 = 0

b = ln ⁡ e = 1

E ficamos com:

= ∫ u =   0 1 u   d u

Passo 2

Agora podemos resolver a integral:

∫ u =   0 1 u   d u = u 2 2 0 1

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Basta fazer a subtração com os limites da integral:

= 1 2 2 - 0 = 1 2

Resposta

∫ 1 e ln ⁡ x x d x = 1 2

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