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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 27

Nos Exercícios de 21 a 28, calcule a integral indefinida.

∫ e 2 x e x + 3 d x

Passo 1

Vamos começar usando a integração por substituição.

Onde o nosso u será:

u = e x + 3

Encontrando o diferencial de u , teremos:

d u = e x   d x

d u e x = d x

Vamos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

∫ e 2 x u d u e x = ∫ e x u d u

Como ainda temos o e x precisamos acabar com ele para continuar a integral, para isso vamos substituí-lo também por u , como:

u = e x + 3

e x = u - 3

Então:

∫ e x u d u = ∫ u - 3 u d u = ∫ u u - 3 u d u = ∫ 1 - 3 u d u =

Passo 2

Agora podemos resolver a integral.

Como a integral da soma é a soma das integrais e ∫ 1 u d u = l n ⁡ ( | u | ) teremos:

∫ 1 - 3 u d u = ∫ 1 d u - ∫ 3 u d u = u - 3 ln ⁡ | u | + C

Não esqueça da constante de integração.

Falta apenas trazer de volta a variável x :

= e x + 3 - 3 ln ⁡ | e x + 3 | + C

Resposta

∫ e 2 x e x + 3 d x = e x + 3 - 3 ln ⁡ | e x + 3 | + C

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