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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 36

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

36 . ∫ x 5 x 2 - a 2 3   d x

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral teremos que fazer a seguinte substituição:

u = x 2

d u = 2 x   d x ⇒ d u 2 = x   d x

Então a integral fica da seguinte forma:

∫ x 5 x 2 - a 2 3 d x = ∫ x 4 ⋅ x d x x 2 - a 2 3 = 1 2 ∫ u 2 u - a 2 3 d u

Passo 2

Agora, teremos que resolver essa integral por frações parciais, então:

u 2 u - a 2 3 = A u - a 2 + B u - a 2 2 + C u - a 2 3

⇒ A u - a 2 + B u - a 2 2 + C u - a 2 3 = A u - a 2 2 + B u - a 2 + C u - a 2 3

= A u 2 - 2 A u a 2 + A a 4 + B u - B a 2 + C u - a 2 3 = A u 2 + - 2 A a 2 + B u + ( A a 4 - B a 2 + C ) u - a 2 3

Temos:

A = 1

- 2 A a 2 + B = 0 ⇒ - 2 a 2 + B = 0 ⇒ B = 2 a 2

A a 4 - B a 2 + C = 0 ⇒ a 4 - 2 a 2 a 2 + C = 0 ⇒ a 4 - 2 a 4 + C ⇒ C = a 4

Então ficamos com:

u 2 u - a 2 3 = 1 u - a 2 + 2 a 2 u - a 2 2 + a 4 u - a 2 3

Passo 3

Continuando a resolver nossa integral:

1 2 ∫ u 2 u - a 2 3 d u = 1 2 ∫ 1 u - a 2 + 2 a 2 u - a 2 2 + a 4 u - a 2 3 d u

= 1 2 ∫ 1 u - a 2 d u + ∫ 2 a 2 u - a 2 2   d u + ∫ a 4 u - a 2 3   d u

Vamos resolver cada integral de uma vez para facilitar nossa situação.

Passo 4

Começamos com:

∫ 1 u - a 2 d u

Fazendo a substituição:

v = u - a 2 ,         d v = d u

Temos o seguinte:

∫ 1 v d v = ln ⁡ v

Voltando a variável original, ficamos com:

ln ⁡ v ⇒ l n ⁡ ( u - a 2 )

∫ 1 u - a 2 d u = l n ⁡ ( u - a 2 )

Passo 5

Agora resolvemos:

∫ 2 a 2 u - a 2 2   d u = 2 a 2 ∫ 1 u - a 2 2 d u

Fazendo a substituição:

v = u - a 2 ,         d v = d u

Temos o seguinte:

2 a 2 ∫ 1 v 2 d v = 2 a 2 ∫ v - 2 d v = 2 a 2 v - 1 - 1 = - 1 v 2 a 2

Voltando a variável original, ficamos com:

- 1 v 2 a 2 = - 1 ( u - a 2 ) 2 a 2

∫ 2 a 2 u - a 2 2   d u = - 1 ( u - a 2 ) 2 a 2

Passo 6

Agora resolvemos:

∫ a 4 u - a 2 3   d u = a 4 ∫ 1 u - a 2 3 d u

Fazendo a substituição:

v = u - a 2 ,         d v = d u

Temos o seguinte:

a 4 ∫ 1 v 3 d v = a 4 ∫ v - 3 d v = a 4 v - 2 - 2 = - 1 2 v 2 a 4

Voltando a variável original, ficamos com:

- 1 2 v 2 a 4 = - 1 2 u - a 2 2 a 4

∫ a 4 u - a 2 3   d u = - 1 2 u - a 2 2 a 4

Passo 7

Agora vamos juntar esses três resultados e continuar de onde paramos no passo 3.

1 2 ∫ 1 u - a 2 d u + ∫ 2 a 2 u - a 2 2   d u + ∫ a 4 u - a 2 3   d u

= 1 2 ln ⁡ u - a 2 - 2 a 2 u - a 2 - a 4 2 u - a 2 2 = 1 2 ln ⁡ u - a 2 - a 2 u - a 2 - a 4 4 u - a 2 2

Resposta

∫ x 5 x 2 - a 2 3   d x = 1 2 ln ⁡ u - a 2 - a 2 u - a 2 - a 4 4 u - a 2 2

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