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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 11

int (d x)/(x^2 ( x + 1 )^2)

Passo 1

Vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(x^2 ( x + 1 )^2) = (A)/(x^2) + (B)/(x) + (C)/(( x + 1 )^2) + (D)/(( x + 1 ))

Isolando 1, vamos achar

1 = A ( x + 1 )^2 + B x ( x + 1 )^2 + C x^2 + D x^2 ( x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 ; B = - 2 ; C = 1 ; D = 2

Agora substituindo os valores de A, B, C e D, temos:

(1)/(x^2 ( x + 1 )^2) = (1)/(x^2) - (2)/(x) + (1)/(( x + 1 )^2) + (2)/(( x + 1 ))

Passo 2

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (d x)/(x^2 ( x + 1 )^2) = int (d x)/(x^2) - int (2 d x)/(x) + int (d x)/(( x + 1 )^2) + int (2 d x)/(( x + 1 ))

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (d x)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = - (2 x + 1)/(x^2 + x) - 2 ln |x| + 2 ln |x + 1| + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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