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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 14

14. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada.

g x = 2 x - 3 2 ⋅ x + 4 3

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de g ( x ) , mas antes alguns lembretes:

d d x x n = n x n - 1

d d x f x ⋅ g x = f ´ x ⋅ g x + f x ⋅ g ´ ( x )

d d x c ⋅ f x = c ⋅ d d x f x = c ⋅ f ´ x ,   s e   c   f o r   c o n s t a n t e   n ã o   d e p e n d e r   d e   x .

d d x f g x = f ´ g x ⋅ g ´ ( x )

Agora ficou fácil derivar g ( x ) , olha só:

g x = 2 x - 3 2 ⋅ x + 4 3

g ´ x = 2 ⋅ 2 x - 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ x + 4 2

g ´ x = 4 ⋅ 2 x - 3 + 3 ⋅ ( x 2 + 8 x + 16 )

g ´ x = 8 x - 12 + 3 x 2 + 24 x + 48

g ´ x = 3 x 2 + 32 x + 36

Passo 2

Para encontrar g ´ ´ ( x ) basta derivar g ´ x , usando a regra da potência e do produto temos:

g ´ x = 3 x 2 + 32 x + 36

g ´ ´ x = 2 ⋅ 3 x + 32

g ´ ´ x = 6 x + 32

Resposta

g ´ x = 3 x 2 + 32 x + 36

g ´ ´ x = 6 x + 32

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