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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 4

int (( 4 x - 2 ) d x)/(x^3 - x^2 - 2 x)

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -1 e 0, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (( 4 x - 2 ) d x)/(x ( x - 2 ) ( x + 1 ))

Colocando a constante para fora da integral

2 int (( 2 x - 1 ) d x)/(x ( x - 2 ) ( x + 1 ))

Para x diferente de 2 e -1 e 0.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(( 2 x - 1 ) d x)/(x ( x - 2 ) ( x + 1 )) = (A)/(x) + (B)/(( x - 2 )) + (C)/(( x + 1 ))

Isolando 2 x - 1 , vamos achar

2 x - 1 = A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 2 e -1 e 0 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C.

A = (1)/(2) ; B = (1)/(2) ; C = - 1

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(( 2 x - 1 ) d x)/(x ( x - 2 ) ( x + 1 )) = ((1)/(2))/(x) + ((1)/(2))/(( x - 2 )) - (1)/(( x + 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

2 int (( 2 x - 1 ) d x)/(x ( x - 2 ) ( x + 1 )) = 2 ((1)/(2) int (1)/(x) d x + (1)/(2) int (1)/(( x - 2 )) d x - int (1)/(( x + 1 )) d x)

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

2 int (( 2 x - 1 ) d x)/(x ( x - 2 ) ( x + 1 )) = (l n |x| + l n |x - 2| - 2 l n | x + 1 |)

Resposta

int (( 4 x - 2 ) d x)/(x^3 - x^2 - 2 x) = (l n |x| + l n |x - 2| - 2 l n | x + 1 |) + c

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