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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 1

int (d x)/(x^2 - 4)

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -2, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (d x)/(( x - 2 ) ( x + 2 ))

Para x diferente de 2 e -2.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (A)/(( x - 2 )) + (B)/(( x + 2 ))

Isolando 1, vamos achar

1 = A (x + 2) + B ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 2 e -2 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = (1)/(4) ; B = - (1)/(4)

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = ((1)/(4))/(( x - 2 )) + (- (1)/(4))/(( x + 2 ))

Simplificando:

(1)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (1)/(4) ((1)/((x - 2)) - (1)/((x + 2)))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (d x)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (1)/(4) (int (d x)/((x - 2)) - int (d x)/((x + 2)))

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (d x)/(( x - 2 ) ( x + 2 )) = (1)/(4) (l n | x - 2 | - l n | x + 2 |)

Resposta

int (d x)/(x^2 - 4) = (1)/(4) (l n | x - 2 | - l n | x + 2 |) + c

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