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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 29

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

∫ s e n x ⋅ cos ⁡ x 4 + s e n 4   x   d x

Passo 1

Para resolvermos essa integral precisamos fazer uma substituição que vai nos facilitar muito a vida. Fazendo a seguindo substituição:

u = s e n 2 x

d u = 2 s e n x ⋅ cos ⁡ x   d x ⇒ d u 2 = s e n x ⋅ cos ⁡ x   d x

Passo 2

Aplicando a substituição na integral ficamos com:

∫ s e n x ⋅ cos ⁡ x 4 + s e n 4   x   d x = 1 2 ∫ d u 4 + u 2

Passo 3

Para resolver essa integral temos que lembrar de um detalhe.

∫ d s a 2 + s 2 = 1 a a r c t g s a + c

Passo 4

Aplicando a informação do passo 3 na integral.

1 2 ∫ d u 4 + u 2 = 1 2 1 2 a r c t g u 2

= 1 4 a r c t g u 2 + c

Passo 5

Precisamos agora voltar a variável original para obter o resultado final.

u = s e n 2 x

1 4 a r c t g u 2 + c = 1 4 a r c t g s e n 2 x 2   + c

Resposta

∫ s e n x ⋅ cos ⁡ x 4 + s e n 4   x   d x = 1 4 a r c t g s e n 2 x 2   + c

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