Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 6

Calcule a integral.

int x cos 2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int x cos 2 x d x

E supondo:

u = x e d v = cos 2 x d x

Conseguimos encontrar:

d u = d x

E:

v = int cos 2 x d x

Que, resolvendo através da substituição com a = 2 x , tal que d a = 2 d x , obtemos:

v = int cos a ((d a)/(2)) = (1)/(2) s e n a

Ou seja:

v = (1)/(2) s e n 2 x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int x cos 2 x d x = x ((1)/(2) s e n 2 x) - int ((1)/(2) s e n 2 x) d x

Que pode ser reescrita como:

int x cos 2 x d x = (1)/(2) x s e n 2 x + (1)/(2) int - s e n 2 x d x

Passo 4

Como a integral do lado direito da equação possui um resultado já definido, podemos calcular de forma direta, tal que:

int x cos 2 x d x = (1)/(2) x s e n 2 x + (1)/(2) ((cos 2 x)/(2)) + C

Portanto, o resultado da integral é:

int x cos 2 x d x = (1)/(2) x s e n 2 x + (1)/(4) cos 2 x + C

Resposta

int x cos 2 x d x = (1)/(2) x s e n 2 x + (1)/(4) cos 2 x + C

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