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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 32

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

32 .   ∫ d x x ln ⁡ x   ( ln ⁡ x - 1 )  

Passo 1

Essa questão pode assustar um pouco, mas vamos usar aqui uma substituição simples para ver como ela pode ficar bem amigável

u = ln ⁡ x ⇒ d u = 1 x   d x

Nossa integral fica então:

∫ 1 u ( u - 1 ) d u

Bem mais amigável, né? Vamos então resolver...

Passo 2

Vamos integrar por frações parciais usando o método de igualar coeficientes:

1 u ( u - 1 ) = A u + B ( u - 1 ) = A u - A + B u u ( u - 1 )

A + B = 0 ⇒ B =   - 1 A = 1                                                            

Ficamos então com:

A u + B ( u - 1 ) =   1 u - 1 ( u - 1 )

Agora é só integrar...

Passo 3

Integrando:

∫ 1 u   d u - ∫ 1 ( u - 1 )   d u = ln ⁡ u - ln ⁡ u - 1 + c

Vamos voltar para nossa variável original substituindo u = ln ⁡ x

ln ⁡ u - ln ⁡ u - 1 + c = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) - ln ⁡ ( ln ⁡ x - 1 )

Chegamos então na nossa resposta.

Resposta

∫ d x x ln ⁡ x   ( ln ⁡ x - 1 ) = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) - ln ⁡ ( ln ⁡ x - 1 )

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