Nos Exercícios de 1 a 4, comprove que as condições (i) , (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor adequado de c que satisfaça a conclusão do teorema de Rolle.

1. f(x) = x^2 - 4x + 3; [1, 3]

Passo 1

Vamos testar as condições e depois achar um valor c segundo o teorema.

Passo 2

A condição ( i ) pede que a função seja contínua no intervalo fechada, no caso, f x = x 2 - 4 x + 3 é um polinômio e, portanto, contínuo no intervalo [ 1,3 ] . Condição comprovada.

Passo 3

A condição ( i i ) pede que a função seja derivável, por ser um polinômio, sabemos que f ( x ) é derivável em [ 1,3 ] . Condição comprovada.

Passo 4

A condição i i i pede que f a = 0 e f b = 0 no intervalo [ a , b ] . Basta substituirmos em f ( x ) os valores do intervalo.

f 1 = 1 - 4 + 3 = 0

f 3 = 9 - 12 + 3 = 0

Condição comprovada.

Passo 5

Pelo teorema de Rolle, existe c no intervalo [ 1,3 ] tal que f ' c = 0

Derivando f ( x ) :

f ' x = 2 x - 4

Queremos o valor c quando a derivada for 0, então:

f ' c = 2 c - 4 = 0

c = 2

Como c está dentro do intervalo [ 1,3 ] , a conclusão do teorema foi satisfeita.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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