Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 6
Seja . Mostre que , mas não existe em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
Oieee, bora resolver mais uma comigo?
Para abordar esta questão, precisamos primeiro demonstrar que possui valores iguais nas extremidades do intervalo dado, depois mostrar que não há em onde a derivada de é zero. Em seguida, explicaremos por que isso não contradiz o Teorema de Rolle.
Vamos mostrar que
Calculamos os valores de nas extremidades do intervalo
Portanto,
Passo 2
Vamos encontrar a derivada de e verificar se para algum .
Primeiro, calculamos a derivada de
Usamos a regra da potência e a regra da cadeia para derivar:
Para encontrar um em tal que resolvemos:
Como o numerador é diferente de zero e nunca é infinito dentro do intervalo , a derivada nunca pode ser zero para .
Passo 3
Agora iremos explicar por que isso não contradiz o Teorema de Rolle
O Teorema de Rolle afirma que se uma função satisfaz as três condições seguintes no intervalo
1. é contínua em
2. é diferenciável em
3.
Então existe pelo menos um número em tal que
Embora satisfaça a condição 3 não satisfaz a condição 1 (continuidade) e a condição 2 (diferenciabilidade) em todo o intervalo A função possui uma descontinuidade em onde o valor da função tende ao infinito, e não é diferenciável em
Portanto, não é contínua nem diferenciável em devido à singularidade em
Passo 4
A função possui mas não existe tal que porque a função não é contínua nem diferenciável em todo o intervalo devido à descontinuidade em
Isso não contradiz o Teorema de Rolle, pois uma das hipóteses (continuidade e diferenciabilidade em todo o intervalo) não é satisfeita.
Resposta
A função não atende as hipóteses do Teorema de Rolle