Seja f(x) = (x - 1)^(-2) . Mostre que f(0) = f(2) , mas não existe c em 0,2 tal que f'(c) = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

Oieee, bora resolver mais uma comigo?

Para abordar esta questão, precisamos primeiro demonstrar que f x = x - 1 - 2 possui valores iguais nas extremidades do intervalo dado, depois mostrar que não há c em ( 0,2 ) onde a derivada de f é zero. Em seguida, explicaremos por que isso não contradiz o Teorema de Rolle.

Vamos mostrar que f 0 = f ( 2 )

Calculamos os valores de f ( x ) nas extremidades do intervalo 0,2 ;  

f ( 0 )   =   0 - 1 - 2 =   - 1 - 2 =   1

f ( 2 )   =   2 - 1 - 2 =   1 - 2 =   1

Portanto, f 0 = f ( 2 )

Passo 2

Vamos encontrar a derivada de f ( x ) e verificar se f ' c = 0 para algum c ∈ ( 0,2 ) .

Primeiro, calculamos a derivada de f x :

f x =   x - 1 - 2

Usamos a regra da potência e a regra da cadeia para derivar:

f ' x =   - 2 x - 1 - 3 ⋅ 1   =   - 2 x - 1 - 3  

Para encontrar um c em ( 0,2 ) tal que f ' c = 0 resolvemos:

- 2 c - 1 - 3 =   0

Como o numerador - 2 é diferente de zero e c - 1 - 3 nunca é infinito dentro do intervalo ( 0,2 ) , a derivada f ' ( x ) nunca pode ser zero para x ∈ ( 0,2 ) .

Passo 3

Agora iremos explicar por que isso não contradiz o Teorema de Rolle

O Teorema de Rolle afirma que se uma função f satisfaz as três condições seguintes no intervalo a , b :

1. f é contínua em a , b .

2. f é diferenciável em   a , b .

3. f a = f b ,

Então existe pelo menos um número c em ( a , b ) tal que f ' c = 0 .

Embora f x = x - 1 - 2 satisfaça a condição 3 f 0 = f 2 , não satisfaz a condição 1 (continuidade) e a condição 2 (diferenciabilidade) em todo o intervalo 0,2 . A função f ( x ) possui uma descontinuidade em x = 1 , onde o valor da função tende ao infinito, e não é diferenciável em x = 1 .

Portanto, f não é contínua nem diferenciável em [ 0,2 ] devido à singularidade em x = 1 .

Passo 4

A função f x = x - 1 - 2 possui f 0 = f 2 , mas não existe c ∈ ( 0,2 ) tal que f ' c = 0 porque a função não é contínua nem diferenciável em todo o intervalo devido à descontinuidade em x = 1 .

Isso não contradiz o Teorema de Rolle, pois uma das hipóteses (continuidade e diferenciabilidade em todo o intervalo) não é satisfeita.

Resposta

A função não atende as hipóteses do Teorema de Rolle

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